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30 de octubre de 2012

Dos formas de sumar

Hoy voy a cambiar un poco la temática del blog. Voy a hablar de Matemáticas. Dado que de vez en cuando escribo en el blog de Mati -en nombre de Mr. Green-, hoy lo haré en el mío tratando las Matemáticas, porque las Matemáticas no sólo son una ciencia, sino que es una disciplina que te ayuda a pensar más claramente y, por lo tanto, todo el mundo debería conocer al menos en sus niveles más básicos.

Hoy he leído en la página de Europa Press una noticia sobre una adolescente, Marta Espejel, de primero de Bachillerato que ha logrado simplificar la suma de los 100 primeros números naturales. En esta noticia enlazan con el blog del instituto donde estudia Marta y allí se detalla cómo lo hizo.

Después, resumiré otro modo de sumar los 100 primeros números, aplicable a los 100, 1000 o 10000 primeros y que puede calcularse mentalmente.

Divide y vencerás

En primer lugar, Marta sumó hasta los 16 primeros términos: sumó los dos primeros, los tres primeros, los cuatro primeros, etc. hasta llegar a la suma de los 16 primeros términos.

Pizarra de Marta. Créditos: IES Profesor Máximo Trueba / M. Espejel.

Posteriormente agrupó los resultados de dos en dos y observó que éstos eran múltiplos de 2, 3, 4, etc. y vio que cada uno de estos se descomponían también en el producto de dos factores.

Además, las sumas con un número impar de términos, uno de esos factores coincidía con el número de términos (Así, en el resultado de la suma de los 13 primeros términos, un factor es el número 13.

El otro factor se obtenía dividiendo entre 2 la suma del número de términos más 1. Por ejemplo, en la serie del 13 términos, el otro factor sería (13+1)/2=7.

Entonces, para hallar la suma de los 99 primeros números, un factor de esa suma sería 99 y el otro, (99+1)/2=50, así que el resultado sería: 99x50=4950, a falta de sumar el número 100, que es el que falta, entonces:

99 x 50 + 100 = 5050

Otro método

Este método que os cuento ahora, es un método que conocí hace unos 10 años para sumar los 100, 1000 ó 10000 primeros números naturales, incluso mentalmente. Con el ejemplo del 100, es así:

Suma de los 100 primeros números. Créditos: A. Pérez Verde.

Sumamos 1+99, 2+98, 3+97, ... hasta llegar a la mitad menos uno del número en cuestión, en este caso, 100/2-1=49, por lo tanto, tendríamos 49 veces 100, que sería 4900, sumado con el 50 del centro, hacen 4950, más el 100: 5050.

49 x 100 + 50 + 100 = 5050

Cuenta la leyenda que este método lo descubrió Gauss. En clase, como castigo le impusieron que sumara los 100 primeros números para que dejara de hablar y su profesor pensó que le llevaría varios minutos hacerlo, pero la sorpresa fue mayúscula cuando vio que lo resolvío en apenas unos segundos por este método.

Seguramente haya muchos más métodos. Si sabéis alguno más, os invito a que lo resumáis en los comentarios.

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8 comentarios:

  1. Es fácil sumarlos dos veces, si los colocas del 1 al 100 y debajo del 100 al 1 y vas sumando 1+100, 2+99, 3+98, ... obtienes 100 veces 101, entonces la suma que quieres es 5050, que es la mitad.
    Si se trata de sumar los 1000 primeros tienes 500 veces 1001, 500500; si son 10000 serán 5000 veces 10001, 50005000. Gracias a nuestro sistema decimal posicional siempre será "la mitad seguida de la mitad" ¿curioso, no?

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    1. Hola Clara,
      Muchas gracias por tu comentario! Ese método no lo conocía, es muy curioso!
      Un saludo!

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  2. Los dos métodos del post son realmentebel mismo. Si tienes interés en saber porqué no dudes en preguntar y estaré encantado de demostrártelo. Además todos los que se propongan serán esencialmente el mismo método.

    Un saludo.

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    1. Sí, realmente se asemejan mucho, pero no sabría demostrar porqué. Así que, si te ves con fuerzas, lo dejo en tus manos!
      Un saludo y gracias!

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  3. Claro, es un placer hacer una modesta contribución a un blog dedicado a la ciencia!

    Veamos: la clave del procedimiento de la alumna está en eso de:

    "...las sumas con un número impar de términos, uno de esos factores coincidía con el número de términos..."

    ¿Por qué pasa esto? Si nos fijamos en la serie 1+2+3+...+n con n impar observamos que (n-1)+1=(n-2)+2=(n-3)+3=...=n y estamos multiplicando n un determinado número de veces ¿cuántas veces? pues el número de sumas de pares de números extremos que hagamos, esto es (n-1)/2 más 1 (porque n ya se encuentra sumado una vez al ser impar el número de términos). Entonces nos queda: n*(n+1)/2.
    Vamos a ver ahora qué pasa cuando el número de términos es par: entonces podemos sumar los extremos tranquilamente sin miedo a que se nos quede un numerito en medio sin sumar, es decir sumamos n+1 ¿cuántas veces? pues n/2 y nos queda: (n+1)*n/2 que es la misma fórmula que antes.

    Un par de ejemplos.

    Para n impar: 1+2+3+4+5=(4+1)+(3+2)+5=5+5=5*3
    Para n par: 1+2+3+4+5+6=(6+1)+(5+2)+(3+4)=7+7+7=3*7

    Por tanto se ve claramente que en realidad lo que la chica hacía aunque sin saberlo era sumar los extremos de la serie, precisamente el único método que hay, el método que descubrió Gauss.

    En mi opinión lo más interesante del tema no es "lo que descubrió" sino que la chica hizo algo parecido a cómo se procede en la mayoría de las veces en matemáticas e hizo algo que hicieron Gauss, Fermat, Goldbach... que es realizar una gran cantidad de cálculos, intentar descubrir un patrón en los resultados y hacer una conjetura que, si se llegase a demostrar, se convierta en teorema, es algo así como la observación y el acopio de datos en las ciencias naturales. Pero una vez más la prensa en general hace alarde de sus escasos conocimientos de matemáticas y pierde una gran oportunidad de escribir un buen artículo. Menos mal que ahora tenemos blogs como este donde la ciencia importa.

    Un saludo!

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  4. Ya había leido la noticia, creo que la niña era de Boadilla del Monte.
    Muy bien explicado, aunque no soy de muchos números.

    Al pinchar en el enlace que tienes del blog del instituto no va, dice: La página que estabas buscando en este blog no existe.

    Te he dejado mi voto en el concurso bitacoras.

    Paarticipo con dos blogs: en Viajes con "Conocer Madrid" http://conocemadrid.blogspot.com y en Social-Medioambiental con "Villabrázaro Vivo" http://villabrazarolive.blogspot.com

    Un saludo y ¡suerte!
    Ángela

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    1. Muchas gracias por el comentario, he comprobado lo del link y debe ser que han eliminado el post.

      Un saludo y gracias por el voto!
      Haré lo propio!

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